domingo, 10 de outubro de 2010

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.
Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.
Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressões do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.
Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expressão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T.
As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.

Expressão algébricaObjeto matemáticoFigura
A = b x hÁrea do retângulo
A = b x h / 2Área do triângulo
P = 4 aPerímetro do quadrado


Elementos históricos

Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abacci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos.
O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli ( autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo algébrico.

Expressões Numéricas

São expressões matemáticas que envolvem operações com números.
Exemplos:
a = 7 + 5 + 4
b = 5 + 20 - 87
c = (6 + 8) - 10
d = (5 x 4) + 15

Expressões algébricas

São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais.
Exemplos:
A = 2a + 7b
B = (3c + 4) - 5
C = 23c + 4
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.

Prioridade das operações numa expressão algébrica

Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:
(1) Potenciação ou Radiciação
(2) Multiplicação ou Divisão
(3) Adição ou Subtração
Observações quanto a prioridade:
(1) Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
(2) A multiplicação pode ser indicada por x ou por um ponto . ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.
(3) Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.
Exemplos:
(1) Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim
P = 2.5+10 = 10+10 = 20
Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:
A = 2.9 + 10 = 18 + 10 = 28
Quando A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.
(2) Seja X = 4A + 2 + B - 7 e tomemos A=5 e B=7. Desse modo:
X = 4.5+2+7-7 = 20+2-0 = 22
Quando A=5 e B=7, o valor numérico de X = 4A + 2 + B - 7, é igual a 28.
(3) Seja Y = 18 - C + 9 + D + 8C, onde C=-2 e D=1. Então:
Y = 18-(-2)+9+1+8(-2) = 18+2+9+1-16 = 30-16 = 14
Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.
Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.

Exemplos práticos
:

(1) Lembrando-se que o triângulo eqüilátero é aquele que possui os três lados congruentes (mesma medida), calcular o perímetro de um triângulo equilátero cujo lado mede 5 cm. sabendo-se que o perímetro de um triangulo equilátero pode ser representado por uma expressão algébrica da forma: P=a+a+a=3a. Substituindo a=5cm nesta expressão, obtemos P=3×5cm=15cm.
(2) Para obter a área do quadrado cujo lado mede 7cm, devemos usar a expressão algébrica para a área do quadrado de lado L que é A=L×L=L². Assim, se L=7cm, então A=7×7=49cm².
Observação: Mudando o valor do lado para L=8cm, o valor da área mudará para A=8×8=64cm².
(3) Escreva expressões algébricas para representar o perímetro de cada uma das figuras abaixo:

(4) Se a letra y representa um número natural, escreva a expressão algébrica que representa cada um dos seguintes fatos:
   1. O dobro desse número.
   2. O sucessor desse número.
   3. O antecessor desse número (se existir).
   4. Um terço do número somado com seu sucessor.
(5) Como caso particular do exercício anterior, tome y=9 e calcule o valor numérico:
   1. do dobro de y
   2. do sucessor de y
   3. do antecessor de y
   4. da terça parte de y somado com o sucessor de y
(6) Calcular a área do trapézio ilustrado na figura, sabendo-se que esta área pode ser calculada pela expressão algébrica A=(B+b)×h/2, onde B é a medida da base maior, b é a medida da base menor e h é a medida da altura.

Monômios e polinômios
São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou multiplicação. Os principais tipos são apresentados na tabela:

NomeNo.termosExemplo
monômioumm(x,y) = 3 xy
binômiodoisb(x,y) = 6 x²y - 7y
trinômiotrêsf(x) = a x² + bx + c
polinômiováriosp(x)=aoxn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an


Identificação das expressões algébricas
Muitas vezes as expressões algébricas aparecem na forma:
3x2y
onde se observa que ela depende das variáveis literais x e y, mas é importante identificá-las com nomes como:
p(x,y) = 3x2y
para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das variáveis x e y.
Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de várias variáveis que é um dos conceitos mais importantes da Matemática.

Valor numérico de uma expressão algébrica identificada
É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.
Exemplo: Se p(x,y)=3x2y, então para x=7 e y=2 temos que:
p(7,2) = 3 x 7x 2 = 294
Se alterarmos os valores de x e de y para x=-1 e y=5, teremos outro valor numérico:
p(-1,5) = 3 x (-1)2 x 5 = 3 x 5 = 15
mas dependendo da mudança de x e de y, poderíamos ter o mesmo valor numérico que antes. Se x=-7 e y=2, teremos:
p(7,2) = 3 x (-7)2 x 2 = 294

A regra dos sinais (multiplicação ou divisão)
(+1) x (+1) = +1   (+1) ÷ (+1) = +1
(+1) x (-1) = -1     (+1) ÷ (-1) = -1
(-1) x (+1) = -1     (-1) ÷ (+1) = -1
(-1) x (-1) = +1     (-1) ÷ (-1) = +1


Regras de potenciação
Para todos x e y em R-{0} e m e n números inteiros, tem-se que:

PropriedadesAlguns exemplos
xº=1 (x não nulo)5º = 1
xm xn = xm+n5².54 = 56
xm ym = (xy)m5² 3² = 15²
xm ÷ xn = xm-n520 ÷ 54 = 516
xm ÷ ym = (x/y)m5² ÷ 3² = (5/3)²
(xm)n = xmn(53)² = 125² = 15625 = 56
xm÷n = (xm)1/n53÷2 = (53)1/2 = 1251/2
x-m = 1 ÷ xm5-3 = 1 ÷ 53 = 1/125
x-m/n = 1 ÷ (xm)1/n5-3/2 = 1 ÷ (53)1/2= 1 ÷ (125)1/2


Eliminação de parênteses em Monômios
Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro (e antes) dos parênteses com o uso da regra dos sinais. Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o monômio tem o sinal +, o sinal é o positivo.
Exemplos:
A = -(4x)  + (-7x)  = -4x-7x  = -11x
B = -(4x)  + (+7x) = -4x+7x =   3x
C = +(4x) + (-7x)  =  4x-7x  = - 3x
D = +(4x) + (+7x) =  4x+7x =  11x

Operações com expressões algébricas de Monômios
1. Adição ou Subtração de Monômios
Para somar ou subtrair de monômios, devemos primeiramente eliminar os parênteses e depois realizar as operações.
Exemplos:
1. A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x
2. B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = 3x
3. C = +(4x)+(-7x) = 4x-7x = -3x
4. D = +(4x)+(+7x) = 4x+7x = 11x

2. Multiplicação de Monômios
Para multiplicar monômios, deve-se primeiramente multiplicar os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, multiplicar as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
1. A = -(4x²y).(-2xy) = +8x³y²
2. B = -(4x²y).(+2xy) = -8x³y²
3. C = +(4x²y).(-2xy) = -8x³y²
4. D = +(4x²y).(+2xy) = +8x³y²

3. Divisão de Monômios

Para dividir monômios, deve-se primeiramente dividir os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de divisão dos sinais, dividir as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
1. A = -(4x²y)÷(-2xy) = 2x
2. B = -(4x²y)÷(+2xy) = -2x
3. C = +(4x²y)÷(-2xy) = -2x
4. D = +(4x²y)÷(+2xy) = 2x

4. Potenciação de Monômios

Para realizar a potenciação de um monômio, deve-se primeiramente realizar a potenciação do valor numérico levando em consideração o sinal, tomar as potências literais e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
1. A =(+4x²y)³= 4³ x²y x²y ²y = 256 x6
2. B =(-4x²y)³ = -4³x²y x²y x²y = -256x6

Alguns Produtos notáveis
1. Quadrado da soma de dois termos
Sabemos que x²=x.x, y²=y.y, mas não é verdade que
x² + y² = (x+y)²
a menos que um dos dois termos seja nulo. Este é um erro muito comum, mas o correto é:
(x+y)² = x² + 2xy + y²
Isto significa que o quadrado da soma de dois números sem sempre é igual à soma dos quadrados desses números.
Existe um algoritmo matemático que permite obter o quadrado da soma de x e y, e este algoritmo é semelhante àquele que permite obter o quadrado de um número com dois dígitos. Por exemplo, o número 13 pode ser decomposto em 10+3:

    x+y
    x+y  
  +xy+y²
x²+xy    
x²+2xy+y²
Compare
as duas
operações
    10+3
    10-3   
   +10.3+3²
10²+10.3   
10²+2.10.3+3²

Assim temos que o quadrado da soma de dois termos x e y, é a soma do quadrado do primeiro termo com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo. Em resumo:
(x+y)² = x² + 2xy + y²

Exemplos:

(x+8)² = x²+2.x.8+8² = x²+16x+64
(3k+y)² = (3k)²+2.3k.y+y² = 9k²+6ky+y²
(1+x/5)² = 1+ 2x/5 +x²/25
Exercícios: Desenvolver as expressões:
(a+8)² =
(4y+2)² =
(9k/8 +3)² =

Pensando um pouco:

1. Se (x+7)²=x²+[  ]+49, qual é o termo que deve ser colocado no lugar de [  ]?
2. Se (5a+[   ])² = 25a²+30a+[  ], quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [  ]?
3. Se ([   ]+9)² = x²+[  ]+81, quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [  ]?
4. Se (4b+[   ])² = l6b²+36b+[  ], substitua os [  ] por algo coerente.
5. Se (c+8)²=c²+[  ]+[  ], substitua os [  ] por algo coerente.

2.
Quadrado da diferença de dois termos

Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de x e y é igual ao quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo:
(x-y)² = x² - 2xy + y²

Exemplos:

(x-4)² = x²-2.x.4+4² = x²-8x+16
(9-k)² = 9²-2.9.k+k² = 81-18k+k²
(2/y -x)² = (2/y)²-2.(2/y).x+x²

Exercícios
: Complete o que falta.

(5x-9)² =[             ]
(k-6s)² =[              ]
(p-[ ])² = p²-10p+[ ]

3. Produto da soma pela diferença de dois termos

Vamos utilizar o mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos.

    x+y
    x-y 
  -xy-y²
x²+xy   
x²   -y²
Compare
as duas
operações
    10+3
    10-3   
   -10.3-3²
10²+10.3   
10²  -  3²

Em geral, o produto da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao quadrado de x menos o quadrado de y.
(x+y)(x-y) = x² - y²

Exemplos:

(x+2)(x-2) = x²-2x+2x-4 = x²-4
(g-8)(g+8) = g²-8g+8g-64 = g²-64
(k-20)(k+20) = k²-400
(9-z)(9+z) = 81-z²

Exercícios:
Complete as expressões:

(6-m)(6+m) =
(b+6)(b-6) =
(6+b)(b-6) =
(6+b)(6-b) =
(100-u)(100+u) =
(u-100)(100+u) =

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